从3到n——一道数学题|a math problem from 3 to N

此文使用了mathjax，请等待公式加载 # 原题 起因是一道考试时遇到的题 > 设\(n=\overline{abc}\)表示一个三位数，记\(f(n)=(a+b+c)+(a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a)+a\cdot b\cdot c\)，则满足\(f(n)=n\)的三位数个数是______。

最暴力的我做题时直接把含a的多项式和含b的多项式及c与\(f(n)=100a+10b+c\)的对应系数取等号联立方程，然后求出\(\begin{cases}b=9\\\c=9\end{cases}\)，之后求出199,299,399,⋯,999共九个三位数，然而我总感觉有问题，于是写了程序检验了一下，发现\(f(n)\leq n\)，最后想了好久证明了出来。 如下： \(f(n)-n \\\ =(a+b+c)+(a\cdot b+b\cdot c+c\cdot a)+a\cdot b\cdot c-(100a+10b+c)\\\ =a(1+b+c+b\cdot c)+b(1+c)+c-(100a+10b+c)\\\ =a(1+b+c+b\cdot c-100)+b(1+c-10)\\\ \leq a(1+9+9+9\*9-100)+b(1+9-10)=0\) 当且仅当\(b=c=9\)时等号成立

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上课老师讲课时化为了\(f(n)=(a+1)(b+1)(c+1)-1\)进行计算。 然后我就想如果是其他位数时,也满足这个条件吗？ 检验呢一下发现int范围内都符合，当且仅当除最高位都为9时等号成立。 想了好久证明，觉得可以用数学归纳法如下： 命题：\((a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)\dots (aₙ₊₁-1)\leq \overline{a₁a₂a₃⋯aₙ}\)对\(n \in N^\*\)且$n $ 恒成立,当且仅当\(a₂=a₃=⋯=aₙ=9\)时等号成立,\(a₁,a₂,a₃ ⋯ aₙ ∈ \\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\\}\) 当\(n=2\)时，\((a₁+1)(a₂+1)-1-(a₁\*10+a₂)=a₁a₂+a₁+a₂-10a₂-a₃=a₁(a₂-9) \leq 0\),当且仅当\(a₂=9\)时等号成立 假设当\(n=k \in N^\*\)且\(k \geq 2\)时 \((a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)⋯(aₖ+1)-1 \leq \overline{a₁a₂a₃⋯aₖ}\)成立且当且仅当\(a₂=a₃=⋯=aₖ=9\)时等号成立 当\(n=k+1\)时， \((a₁+1)(a₂+1)⋯(aₖ+1)(aₖ₊₁+1)-1- \overline{a₁a₂a₃⋯aₖ}\\\ =(aₖ₊₁+1)\[(a₁+1)(a₂+1)⋯(aₖ+1)-1+1\]-1-10\* \overline{a₁a₂a₃⋯aₖ}-aₖ₊₁\\\ =(aₖ₊₁+1)\[(a₁+1)(a₂+1)⋯(aₖ+1)-1-\overline{a₁a₂a₃⋯aₖ}\] +(aₖ₊₁-9)\overline{a₁a₂a₃⋯aₖ}\leq 0\) 当且仅当\(a₂=a₃=⋯=aₖ=aₖ₊₁=9\)时等号成立 所以\((a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)\dots (aₙ₊₁-1)\leq \overline{a₁a₂a₃⋯aₙ}\)对\(n \in N^\*\)且$n $ 恒成立,当且仅当\(a₂=a₃=⋯=aₙ=9\)时等号成立,\(a₁,a₂,a₃ ⋯ aₙ ∈ \\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\\}\)