一个奇怪的估算 | A strange estimation

最近发现了一个感觉有点反常识的数学估算情况。假设现在我们知道了$\frac{52}{100} = 0.52$，想计算$\frac{(52+1)}{(100+1)}$。我一开始的想法是，分母基本没变，分子加了1，所以增加了略小于$\frac{1}{100}=0.01$的值。实际上$\frac{53}{101}$差不多是0.00524752，也就是只增加了$0.01$作为估算值的一半不到，误差很大。

另外一个估算方法是，原来是100的52份，现在我又加了一份，所以是加了原来分数的$\frac{1}{52}$，差不多是增加了百分之2，原来是$\frac{52}{100}$，差不多是百分之50，那么增加的就是百分之2个百分之50，增加了1个百分点（0.01），也是这样。

我发出去后得到了一些反馈（摘录已获得授权），一位朋友说

分子增加了1，增加的是原来的1/52 分母增加了1，增加的是原来的1/100 (1/52)/(1/100)=1.923就是原来的倒数 用1＜＜100不太合适，因为增量比率的比值是差不多是2，显然不符合“远大于”的定义

也有一位同学说

分子变化造成的比例影响：约+2% 分母变化造成的比例影响：约-1% 故总影响：+1%（比例影响） 数值在0.5左右，所以数值影响在0.5%左右

我还是想知道可以怎么样地估算呢，于是我尝试算一下增加值的表达式 $\frac{x+1}{y+1} - \frac{x}{y} = \frac{y(x+1) - x(y+1)}{y(y+1)} = \frac{xy + y - xy - x}{y^2 + y} = \frac{y-x}{y^2+y}$ 这里忽略一次项的$y$，那么我们就可以得到一个估算方法，分母减分子的差与分母作商。我们带入一下可以得到0.48，与实际值接近。

我们也可以从比值的角度算一下 $\frac{x+1}{y+1} \div \frac{x}{y} = \frac{x+1}{y+1} \frac{y}{x} = \frac{x+1}{x} \frac{y}{y+1} = (1+ \frac{1}{x}) - (1 - \frac{1}{y+1})$ 从而我们知道 $(\frac{x+1}{y+1} - \frac{x}{y})\div \frac{x}{y} = (1+ \frac{1}{x}) - (1 - \frac{1}{y+1}) - 1 = \frac{1}{x} - \frac{1}{y+1} - \frac{1}{x(y+1)}\approx \frac{1}{x} - \frac{1}{y+1}$ 忽略掉分母里面的高次项。或者如果这里不够明显的话计算下去$\frac{1}{x}(1 - \frac{1}{y+1}) -\frac{1}{y+1} =\frac{1}{x}(\frac{y}{y+1}) - \frac{1}{y+1}$这里我们估算$\frac{y}{y+1}$ 为1可以得到一样的结果。
这样带入$x\approx 50,y=100$得到$\frac{1}{50} - \frac{1}{100} = \frac{1}{100}$也就是说增加值是原值的百分之一，也和真实值接近。

那么为什么一开始的两个估算法不对呢？和后面计算出来的式子，进行比较，发现我们的估算在一开始是算了分子变化的影响略去了分母变化的影响而在这里分母的变化很大。分母增加一后会让前面的52份都变小，虽然每份都不大，但是加起来却是不可以省略的。